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created: 2026-10-08
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  - 沪教版教参必修第一册·第3章
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  - 数学/教参
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  - 上海高考数学
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source: 沪教版教参必修第一册.md（原文件第 1611–2062 行）
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# 第 3 章 幂、指数与对数

> 拆分自 [[沪教版教参必修第一册]] · **第 3 章 幂、指数与对数**（原文件第 1611–2062 行）。
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## 一、本章概述

### 总体要求

幂、指数与对数是数学中重要的概念, 在众多数学分支及其他科学领域中一直发挥着重要的作用. 指数运算与对数运算互为逆运算, 在 16 世纪末, 随着当时天文、 航海及工程实践的迅速发展, 大量多位数乘除及开方的计算困扰着那时的科学家和工程师, 在简化计算的迫切需求下, 对数得以诞生, 并在实际计算中得以广泛的应用. 在计算机已经普及的今天, 以往对数在计算中的功用虽已淡化, 但对数在现代数学和其他科学领域中的作用却有增无减, 始终占据着重要的位置.

在初中已经学过了正整数指数幂、整数指数幂及其基本的运算性质. 本章在初中学习的基础上通过定义分数指数幂, 将指数从整数拓展到有理数, 再通过引入无理数指数幂, 最终将指数从有理数拓展到实数. 在此基础上, 通过指数运算的逆运算, 定义了对数这一个新的概念, 为下一章用幂函数、指数函数与对数函数描述变量之间的相应关系作准备.

通过本章的学习, 帮助学生了解指数幂的拓展过程; 理解指数与对数的概念及它们的相互关系与基本性质; 运用这些性质解决简单的实际问题, 体会对数在计算中所起的作用. 经历指数幂的拓展、对数的概念及其运算性质的学习过程, 对于培养与提升学生的数学抽象、逻辑推理等方面的核心素养有着重要的意义, 而运用运算性质解决实际的问题, 对培养数学运算的素养也会起到重要的作用.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 5+1 ,共计 6 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td>3.1 幂与指数</td><td>2</td><td>指数幂的拓展 2 课时</td></tr><tr><td rowspan="3">3.2 对数</td><td rowspan="3">3</td><td>对数的定义 1 课时</td></tr><tr><td>对数的运算性质 1 课时</td></tr><tr><td>对数的换底 1 课时</td></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

本章内容分为两节, 分别是 “3.1 幂与指数” 和 “3.2 对数”.

“3.1 幂与指数”. 学生在初中已学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂以及整数指数幂的运算性质. 本节对这部分内容的处理方式是 “分析回顾, 适当拓展”, 通过再次经历从正整数指数幂推广到整数指数幂的过程, 感受指数幂的拓展的必要性和合理性, 并在此基础上通过类比思想, 将定义整数指数幂的方法推广到定义有理数指数幂及实数指数幂, 使学生能更加系统地了解指数幂的拓展过程.

在本节中给出了幂的基本不等式, 这是知识的新增长点. 在第 4 章中将通过幂的基本不等式, 实现对幂函数、指数函数和对数函数的严格单调性的证明, 从而在数学抽象的基础上实现了由几何直观到数学符号语言的表述再到严格论证的过程, 体现了数学思维的严谨性.

“ 3.2 对数”. 本节内容主要由对数的定义、运算性质及应用组成, 这与“二期课改"教材大体一致. 但是, 为什么要讲对数? 对数在人类文明的发展史上到底有哪些石破天惊的作用？对数在当今社会中到底还有哪些重要性？本节教材从数学文化的层面, 深入地阐述了对数的起源及其在数学和其他科学领域中的作用, 让学生不仅从知识层面上了解对数,更从意义层面上了解对数,感受对数的“灵魂”,从而增加学习的兴趣和自觉性.

本章最大的特点是将“幂、指数与对数”从“幂函数、指数函数与对数函数”中分离出来, 独立成章, 从而将运算从函数中剥离出来, 使运算不再作为函数的依附, 而是运算先行, 再引入函数的观点. 这可以让学生更为系统地了解指数幂的推广过程, 深入了解指数与对数的关系, 更加熟练地掌握指数与对数的运算性质, 在提升学生数学运算素养的同时, 也更符合知识的有机体系和学生学习的进程.

### 教学提示

要关注幂、指数与对数的整体处理框架, 引导学生先了解指数幂的拓展过程, 建立幂与指数的概念, 再从指数运算与对数运算互为逆运算入手, 从指数引入对数概念及其运算性质, 系统地建立指数与对数的知识体系.

幂与指数的教学, 应关注指数幂的运算性质, 引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程, 掌握指数幂的运算性质.

对数的教学应从实例入手, 关注其在简化运算中的作用. 可从数学文化的层面适当加入对数的起源与其在数学及其他科学领域所起到的作用.

教学中可适当加入信息技术. 例如, 可采取从特殊到一般的方法, 先利用计算器探索对数的运算性质及规律之后, 再进行严格的证明.

鼓励学生收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料,撰写小论文,论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.

### 评价建议

本章的评价应关注以下几点:

1. 对于指数幂的拓展, 要关注学生是否能体会指数幂拓展的着眼点是保持原有的运算性质, 自主地感受到拓展过程的合理性. 但是, 对正无理数指数幂的定义的证明不宜作为重点,可不作评价.

2. 学生能否从整体上了解幂、指数和对数的联系与区别.

3. 对于数学运算素养的评价, 应侧重在确定了运算对象后, 能否选择合适的运算法则, 明确运算思路, 求得运算结果. 例如, 在对数运算中, 若遇到不同底数时, 能否考虑到换底, 再选择合适的对数运算性质进行运算等. 但对一些复杂的换底公式的应用不作要求.

4. 对于数学文化部分的评价, 应侧重于所递交的小论文是否能准确论述对数发明的过程, 理解对数在简化运算中的作用, 感受对数对数学及其他学科领域所起到的重要作用, 根据不同的层次水平, 给出具体评价结果.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 3.1 幂与指数

### 教学重点

指数幂的拓展, 指数幂的运算性质: 在初中学习了正整数指数幂、整数指数幂的基础上,通过对有理数指数幂 ${a}^{\frac{m}{n}}(a > 0$ ,且 $a \neq  1;m\text{、}n$ 为整数,且 $n > 0)$ 、实数指数幂 ${a}^{x}\left( {a > 0\text{,且}a \neq  1;x \in  \mathbf{R}}\right)$ 含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.

### 内容分析

初中已经学习了正整数指数幂及其基本的运算性质, 并经历了将正整数指数幂推广到整数指数幂的过程. 本节通过引入方根概念定义分数指数幂, 将指数从整数拓展到有理数, 再引入无理数指数幂, 最终将指数从有理数拓展到实数, 为对数概念的引入以及用函数思想来描述变量之间的关系作好准备.

通过本节课的教学, 不仅应对指数幂的拓展过程有了解, 同时对思维方式的推广、逻辑思维能力的培养、数学运算素养的提升都有着重要的意义.

例 1、例 2 是方根与根式的简单应用. 例 1 旨在说明有时可依据乘方与开方互为逆运算的关系,求一个实数的 $n$ 次方根. 特别要提醒的是,正数的偶数次方根有两个,要防止在求偶数次方根时失根. 可以从例 2 出发探究 $\sqrt[n]{{a}^{n}} = a$ 是否对一切大于 1 的正整数 $n$ 都成立; 如果不一定,那么其结果是什么? 以培养学生从特殊到一般的数学思想. 习题 3.1A 组的第 1、2 题, B 组的第 1 题是该组例题的配套习题, 其中 A 组的第 1、2 题旨在巩固概念、夯实基础; 而 B 组的第 1 题是该例题的拓展.

例 3、例 4 是为巩固有理数指数幂的定义及其运算性质而设计的. 特别要注意的是, 要控制例 4 这类题的难度, 其设计不是为了进行烦琐的根式运算, 而是为了熟悉有理数指数幂与根式的互化, 掌握有理数指数幂的概念. 习题 A 组的第 3、4、5、6 题是该组例题的配套习题, 旨在巩固概念、夯实基础.

例 5 是为了理解与掌握实数指数幂的概念及其运算性质. 例 5 的第 (2) 小题要严格按照例题的解题步骤进行: 首先是系数相乘除, 其中要注意符号; 然后是同底数幂相乘除. 习题 A 组的第 7 题, B 组的第 2 题是该组习题的配套习题, 其中 A 组的第 7 题旨在巩固概念、夯实基础,而 B 组的第 2 题是该例题的拓展.

### 注意事项

在幂与指数的教学中, 应突出指数幂的拓展过程, 让学生体会到指数幂的拓展的必要性与合理性. 而要领会这一点, 必须让学生重新经历由正整数指数幂推广到整数指数幂的过程, 领会指数幂的拓展是建立在保证幂的三条运算性质仍然成立的基础上的, 一定要加以分析领会, 切不可简单回顾.

在定义有理数指数幂时,通常先直接定义 ${a}^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{{a}^{m}},(m\text{、}n$ 均为正整数 $)$ 再进一步定义 ${a}^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{{a}^{m}}}$ . 本教材采用了两次定义的方式: 设 $a > 0, s$ 为有理数,为定义 ${a}^{s}$ ,先当 $s = \frac{1}{n}$ 且 $n$ 是正整数时,定义 ${a}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ ; 再当 $s = \frac{m}{n}, m$ 是一个整数且 $n$ 是一个大于 1 的整数时,定义 ${a}^{\frac{m}{n}} = {\left( {a}^{m}\right) }^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{{a}^{m}}$ . 这样定义有理数指数幂,避开了对正、 负分数指数幂的分别定义, 而利用整数指数幂及根式进行定义, 更能体现指数幂拓展的合理性.

需要指出的是, 定义正数的无理数指数幂时, 要用到无理数由有理数逼近的性质,且利用了实数的完备性,不仅相当烦琐,而且在中学阶段实际上是难以讲清楚的,教学中不宜展开,只要知道有关的结论就可以了. 下面是如何定义 ${2}^{\sqrt{2}}$ 的思路, 供参考.

结论: 任意两个有理数之间一定存在无理数.

证明: 任意给定 ${r}_{1}\text{、}{r}_{2} \in  \mathbf{Q}$ ,不妨设 ${r}_{1} < {r}_{2}$ .

注意到 $0 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ ,有 $0 < \frac{\sqrt{2}}{2}\left( {{r}_{2} - {r}_{1}}\right)  < {r}_{2} - {r}_{1}$ ,从而 ${r}_{1} < {r}_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2}\left( {{r}_{2} - {r}_{1}}\right)  < {r}_{2}$ .

因为 ${r}_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2}\left( {{r}_{2} - {r}_{1}}\right)$ 是无理数,所以结论成立.

先取指数 $\sqrt{2}$ 的不足近似值 ${t}_{n}$ 和 $\sqrt{2}$ 的过剩近似值 ${s}_{n}$ ,见表 3-1. 那么指数 $\sqrt{2}$ 一定在每个对应区间内, 即成立

$$
{t}_{n} < \sqrt{2} < {s}_{n}.
$$

表 3-1

<table><tr><td>$n$</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>... ...</td></tr><tr><td>${t}_{n}$</td><td>1</td><td>1.4</td><td>1.41</td><td>1.414</td><td>1.414 2</td><td>... ...</td></tr><tr><td>${s}_{n}$</td><td>2</td><td>1.5</td><td>1.42</td><td>1.415</td><td>1.414 3</td><td>... ...</td></tr></table>

相应地有

表 3-2

<table><tr><td>$n$</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>... ...</td></tr><tr><td>${2}^{{t}_{n}}$</td><td>${2}^{1}$</td><td>${2}^{1.4}$</td><td>${2}^{1.41}$</td><td>${2}^{1.414}$</td><td>${2}^{1,{4142}}$</td><td>... ...</td></tr><tr><td>${2}^{{s}_{n}}$</td><td>${2}^{2}$</td><td>${2}^{1.5}$</td><td>${2}^{1.42}$</td><td>${2}^{1,{415}}$</td><td>${2}^{{1.414}\;3}$</td><td>... ...</td></tr></table>

${2}^{\sqrt{2}}$ 应在实数 ${2}^{{t}_{n}}$ 与 ${2}^{{s}_{n}}$ 之间. 观察表 3-2 中 ${2}^{{t}_{n}}$ 和 ${2}^{{s}_{n}}$ 的变化规律,可以发现: 在 $n$ 无限增大的过程中, ${2}^{{t}_{n}}$ 越来越大, ${2}^{{s}_{n}}$ 越来越小,而相应的区间长度 ${2}^{{s}_{n}} - {2}^{{t}_{n}}$ 也越来越小,且无限逼近于 0 . 这样,随着 $n$ 的无限增大, ${2}^{{t}_{n}}$ 与 ${2}^{{s}_{n}}$ 无限逼近同一个实数,从而就可以定义这个实数为 ${2}^{\sqrt{2}}$ . 这实际上是用到了极限的思想.

在分别定义了整数指数幂、有理数指数幂、无理数指数幂之后, 教材中都指出所有幂的运算性质 (1) 到 (3) 依然成立. 但有关的证明过程可以淡化, 不必为此花过多的时间, 只要让学生有所体会即可.

与“二期课改”教材不同的是,本教材增加了幂的基本不等式,为下一章证明幂函数、指数函数、对数函数是严格单调函数作准备, 其证明过程也用到了极限思想. 以下给出证明的思路:

(1)当 $s$ 为正整数时,由不等式的常用性质的第五条,可知:由 $a > 1$ ,得 ${a}^{\frac{1}{s}} > 1$ .

(2)当 $s$ 为正有理数时,存在两个正整数 $m\text{、}n$ ,使得 ${a}^{s} = {a}^{\frac{m}{n}} = {\left( {a}^{\frac{1}{n}}\right) }^{m}$ . 由( 1 ), 得 ${a}^{s} > 1$ .

(3)当 $s$ 为正实数时,由无理数可以由有理数逼近的性质,存在两个正整数 $m\text{、}n$ , 使得 $\frac{m}{n} < s < \frac{m + 1}{n}$ . 由 (2),得 ${a}^{\frac{m}{n}} > 1,{a}^{\frac{m + 1}{n}} > 1$ ,因 ${a}^{s}$ 介于这二者之间,从而 ${a}^{s} > 1$ .

### 教学建议

初中已经学过正整数指数幂和整数指数幂, 在教学中要避免简单回顾, 一定要注重分析, 让学生体会拓展的必要性与合理性.

教学中可创设适当的情境, 让学生感受指数幂拓展的必要性. 在掌握了整数指数幂的定义之后, 引导学生自主尝试定义有理数指数幂.

在引入无理数指数幂的定义时, 学有余力的学生可借助计算器体验运算中的逼近思想.

#### 3.2 对数

### 教学重点

对数的定义和运算性质, 对数的换底公式: 经历从指数引入对数的概念、从幂指数的运算性质推出对数的运算性质的过程, 理解和掌握对数的概念和对数的运算性质. 理解对数的换底公式的推导过程, 在进行和对数有关的计算时, 懂得用换底公式将不同底的对数互相转换, 体会换底公式的作用.

### 内容分析

本节是在学习了幂、指数及其运算性质之后, 通过具体的实际背景, 由指数引入对数的概念; 在强调了对数运算是指数运算的逆运算之后, 再由幂指数的运算性质推出了对数的运算性质. 由于在实际问题中往往会碰到不同底数的对数, 对数换底公式可起到将不同底数的对数化为同底的对数的作用, 从而可以简化问题.

通过本节课的教学,对转化与化归、对立与统一思想的形成以及逻辑推理、数学运算等素养的提升, 都有着重要的作用.

例 1 与例 2 有助于对数概念的理解. 通过指数式与对数式的互化, 进一步熟悉与掌握如何求一个正数的对数和对数式中真数的含义. 特别是例 1 要规范解题过程, 严格将对数式化为指数式后求解. 习题 A 组的第 1 题至第 4 题, B 组的第 1 题都是该组例题的配套习题. 其中, A 组的第 1 题至第 3 题旨在巩固概念、夯实基础; A 组的第 4 题, B 组的第 1 题是例 2 的变式与拓展, 旨在让学生在例 2 的基础上, 进一步熟悉对数式中真数、底数及对数的含义.

例 3 至例 5 旨在巩固对数的运算性质, 掌握简单对数的计算. 其中, 例 3 和例 4 要求灵活运用对数的运算性质解题. 需要说明的是, 教材例题中给出的解题方法并不是唯一的,如例 3 的第 (1) 小题也可以先用指数幂的运算性质,将真数化为 ${3}^{10}$ 后再取对数. 在教学中可鼓励学生尝试用不同的思路求解. 例 5 是对数的应用问题, 旨在能熟练应用对数的运算性质解决实际的问题, 体会对数在生活中的广泛应用. 值得指出的是, 例 5 的第(2)小题要通过分析让学生体会, 求两个正数的商, 可转化为求这两个正数的对数的差. 将乘除化为加减是对数的特性, 是对数可以用于简化计算的重要依据. 习题 A 组第 5、6、8 题, B 组第 2、3 题是该组例题的配套习题, 有助于熟悉与掌握对数的运算性质.

例 6 与例 7 旨在让学生掌握对数的换底公式, 会用换底公式进行化简和证明. 对于例 6 , 学生常犯的错误是直接利用对数的运算性质解题. 要提醒学生, 使用对数运算性质的前提是同底, 在对数运算中, 利用对数的换底公式将不同的底换成同底是一种常用的方法. 例 6 说明了可以把所有的对数换成同一个底, 如例 6 的第 (2)小题也可换成以 3 为底. 例 7 的结论有着比较广泛的应用, 可以适当强调. 值得提醒的是, 教学中要控制利用换底公式化简和证明的难度, 让学生体会换底公式在运算中所起的作用就可以了. 习题 A 组第 7 题, B 组第 4 至 6 题是该组例题的配套习题. 其中, A 组第 7 题是基础训练, B 组第 4 至 6 题是该组例题的拓展.

### 注意事项

本教材是从银行贷款问题入手,经过抽象后,提出在 $a > 0, a \neq  1$ ,且 $N > 0$ 的情况下,唯一满足 ${a}^{x} = N$ 的数 $x$ ,称为 $N$ 以 $a$ 为底的对数. 在教学中应突出指数式与对数式的对应关系, 从指数式入手, 通过对应关系理解对数式中的真数、底数及对数的定义. 对于底数和真数的取值范围,本教材从存在性和唯一性出发,在 $a > 0$ 的条件下,说明这是使方程 ${a}^{x} = N$ 存在唯一解所应满足的条件. 教学中虽应说明这部分的内容, 但是要把握好度, 对存在性和唯一性不必证明, 只需直观了解即可.

对数是一种数学运算, 同时也是一个运算结果. 在教学中应该从这两方面给予解释, 不可只强调其中的一方面; 要善于利用教材中已有的材料加强对这两方面的认识, 如对数恒等式的引入、对数的运算性质及对数换底公式等都可以从这两方面加以认识.

对数的运算性质的教学,切不可只停留在运算本身,要让学生体会到对数对于简化运算的功能, 可结合本节的课后阅读材料“用对数简化计算”进行教学, 让学生充分体会对数的作用, 这是以往教材所忽略的.

对数的运算性质是本节的重点之一. 教材通过指数的运算性质引入对数的运算性质 1(对数化乘为加). 这是对数最基本的性质,由它可以推出对数的其他性质.

需要特别指出的是, 不论在对数概念的引入还是在对数的计算中, 对计算器的使用需掌握好度, 切不可用计算器代替思维, 舍本求末.

### 数学建议

对数的教学可结合一定的生活实例, 让学生充分体会对数在生活中的重要作用, 体会对数的应用价值.

对数的教学可从结合数学文化的层面进行, 适当加入对数的起源与其在数学及其他科学领域所起到的作用. 在引入新课时,可让学生阅读本节的课后阅读材料“对数简史”,体会对数在人类的发展史上所起到的石破天惊的作用,感受引入对数概念的必要性; 亦可在对数的运算性质的教学中, 结合本节的课后阅读材料“用对数简化计算”进行教学,加强对对数简化运算的作用的认识.

可尝试设计一定的问题情境, 结合信息技术进行教学. 例如, 可采取从特殊到一般的方法, 先利用计算器探索对数的运算性质及规律, 再进行严格的证明.

可根据实际情况, 鼓励学生收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料, 撰写小论文, 论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.

#### 三、参考答案或提示

##### 3.1 幂与指数

练习 3.1(1)

1. 因为 ${\left( -\frac{2}{3}\right) }^{5} =  - \frac{32}{243}$ ,所以 $\sqrt[5]{-\frac{32}{243}} =  - \frac{2}{3}$ .

2. 因为任何正数的偶次方根有两个,又因为 ${\left( \pm \sqrt{3}\right) }^{4} = 9$ ,所以 9 的 4 次方根为 $\pm  \sqrt[4]{9} =  \pm  \sqrt{3}.$

3. (1) $\sqrt[5]{{\left( -4\right) }^{5}} =  - 4$ . 4. ( 2 )因为 $a < b$ ,所以 $\sqrt[6]{{\left( a - b\right) }^{6}} = \left| {a - b}\right|  = b - a$ .

练习 ${3.1}\left( 2\right)$

1. (1) ${100}^{\frac{1}{2}} = {\left( {10}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} = {10}^{1} = {10}$ . (2) ${8}^{-\frac{2}{3}} = {\left( \frac{1}{8}\right) }^{\frac{2}{3}} = {\left\lbrack  {\left( \frac{1}{2}\right) }^{3}\right\rbrack  }^{\frac{2}{3}} = {\left( \frac{1}{2}\right) }^{2} = \frac{1}{4}$ .

2. (1) ${a}^{\frac{10}{3}} \cdot  \sqrt[5]{{a}^{3}} = {a}^{\frac{10}{3}} \cdot  {a}^{\frac{3}{5}} = {a}^{\frac{10}{3} + \frac{3}{5}} = {a}^{\frac{59}{15}}$ . (2) $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}} = {\left( a \cdot  {a}^{\frac{1}{3}}\right) }^{\frac{1}{3}} = {\left( {a}^{\frac{4}{3}}\right) }^{\frac{1}{3}} = {a}^{\frac{4}{9}}$ .

3. (1) ${\left( {a}^{3 + \sqrt{3}}\right) }^{3 - \sqrt{3}} = {a}^{\left( {3 + \sqrt{3}}\right)  \times  \left( {3 - \sqrt{3}}\right) } = {a}^{6}$ .

(2) $\frac{4{a}^{\frac{2}{3}}{b}^{2}}{\left( {{a}^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{5}{6}}}\right) \left( {-\frac{2}{3}{a}^{\frac{1}{2}}b}\right) } = 4 \cdot  \left( {-\frac{3}{2}}\right) {a}^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{2}}{b}^{2 - \frac{5}{6} - 1} =  - 6{a}^{0}{b}^{\frac{1}{6}} =  - 6{b}^{\frac{1}{6}}$ .

4. 因为 $0 < a < 1$ ,所以 $\frac{1}{a} > 1$ . 又因为 $s > 0$ ,由幂的基本不等式,得 ${\left( \frac{1}{a}\right) }^{s} > 1$ ,故 $0 < {a}^{s} < 1$ .

习题 3.1

A 组

1.(1)因为 ${\left( -4\right) }^{3} =  - {64}$ ,所以 $\sqrt[3]{-{64}} =  - 4$ .

(2)因为任何正数的偶次方根有两个,又因为 ${\left( \pm 4\right) }^{4} = {256}$ ,所以 256 的 4 次方根为 $\pm  \sqrt[4]{256} =  \pm  4$ .

2. (1) $\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{3}{2}$ . (2) $- \sqrt[3]{0.125} =  - {0.5}$ . (3) $\sqrt[7]{{\left( -2\right) }^{7}} =  - 2$ .

(4) $\sqrt[6]{{\left( -{27}\right) }^{2}} = \sqrt[6]{{3}^{6}} = 3$ .

3. (1) $\sqrt[3]{{x}^{5}} = {x}^{\frac{5}{3}}$ . (2) $\sqrt[5]{{x}^{3}} = {x}^{\frac{3}{5}}$ . (3) $\sqrt[7]{{x}^{3}{y}^{4}} = {x}^{\frac{3}{7}}{y}^{\frac{4}{7}}$ .

(4) $\sqrt[7]{\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}} = {x}^{\frac{3}{7}}{y}^{-\frac{4}{7}}$ .

4. (1) ${a}^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{{a}^{2}}$ . (2) ${a}^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{{a}^{3}}$ . (3) ${a}^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{{a}^{2}}}$ .

(4) ${a}^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{\sqrt{{a}^{5}}}\left( \right.$ 或 $\left. {{a}^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{{a}^{2}\sqrt{a}}}\right)$ .

5. (1) $x = {27}^{\frac{1}{3}} = 3$ .

(2)由 ${x}^{4} = {121}$ ,得 $x =  \pm  \sqrt[4]{121} =  \pm  \sqrt{11}$ . 又 $x > 0$ ,所以 $x = \sqrt{11}$ .

(3) $x = {1000}^{\frac{2}{3}} = {\left( {10}^{3}\right) }^{\frac{2}{3}} = {10}^{2} = {100}$ .

(4)由 ${x}^{\frac{4}{3}} = \frac{625}{16}$ ,得 $x =  \pm  \sqrt[4]{{\left( \frac{625}{16}\right) }^{3}} =  \pm  \sqrt[4]{{\left\lbrack  {\left( \frac{5}{2}\right) }^{4}\right\rbrack  }^{3}} =  \pm  {\left( \frac{5}{2}\right) }^{3} =  \pm  \frac{125}{8}$ . 又 $x > 0$ , 所以 $x = \frac{125}{8}$ .

6. (1) ${a}^{\frac{1}{3}}{a}^{\frac{1}{4}} = {a}^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = {a}^{\frac{7}{12}}$ . (2) $\sqrt[3]{a\sqrt{a}} = {\left( a \cdot  {a}^{\frac{1}{2}}\right) }^{\frac{1}{3}} = {\left( {a}^{\frac{3}{2}}\right) }^{\frac{1}{3}} = {a}^{\frac{1}{2}}$ .

(3) ${\left( {a}^{\frac{1}{4}}{b}^{-\frac{3}{8}}\right) }^{8} = {a}^{\frac{1}{4} \times  8}{b}^{-\frac{3}{8} \times  8} = {a}^{2}{b}^{-3}$ .

(4) ${\left( \frac{{a}^{-3}{b}^{4}}{\sqrt{b}}\right) }^{-\frac{1}{3}} = {a}^{\left( {-3}\right)  \times  \left( {-\frac{1}{3}}\right) }{b}^{\left( {4 - \frac{1}{2}}\right)  \times  \left( {-\frac{1}{3}}\right) } = a{b}^{-\frac{7}{6}}$ .

7. (1) $\frac{\left( {2{a}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}}\right) \left( {-6{a}^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{3}}}\right) }{3{a}^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{5}{6}}} =  - 4{a}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}}{b}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6}} =  - {4a}$ .

(2) ${\left( {a}^{2 - \sqrt{3}}b\right) }^{2 + \sqrt{3}} \cdot  {b}^{2 - \sqrt{3}} = {a}^{\left( {2 - \sqrt{3}}\right)  \times  \left( {2 + \sqrt{3}}\right) }{b}^{2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}} = a{b}^{4}$ .

### B 组

1. 因为 $x < 0$ ,所以 $\left| x\right|  + \sqrt[6]{{x}^{6}} + 2\sqrt[3]{{x}^{3}} = \left| x\right|  + \left| x\right|  + {2x} = 2\left| x\right|  + {2x} =  - {2x} + {2x} = 0$ .

2. 因为 $\frac{{a}^{3x} + {a}^{-{3x}}}{{a}^{x} + {a}^{-x}} = \frac{\left( {{a}^{x} + {a}^{-x}}\right) \left( {{a}^{2x} + {a}^{-{2x}} - 1}\right) }{{a}^{x} + {a}^{-x}} = {a}^{2x} + {a}^{-{2x}} - 1$ ,又因为 ${a}^{2x} = 2$ , 所以 ${a}^{2x} + {a}^{-{2x}} - 1 = {a}^{2x} + \frac{1}{{a}^{2x}} - 1 = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2}$ .

3. 证明: 因为 $a > b > 0$ ,所以 $\frac{a}{b} > 1$ ,且 $\frac{a - b}{2} > 0$ . 由幂的基本不等式,得 ${\left( \frac{a}{b}\right) }^{\frac{a - b}{2}} > 1$ . 因此 $\frac{{a}^{a}{b}^{b}}{{\left( ab\right) }^{\frac{a + b}{2}}} = {a}^{\frac{a - b}{2}}{b}^{\frac{b - a}{2}} = {\left( \frac{a}{b}\right) }^{\frac{a - b}{2}} > 1$ ,又因为 ${\left( ab\right) }^{\frac{a + b}{2}} > 0$ ,所以 ${a}^{a}{b}^{b} > {\left( ab\right) }^{\frac{a + b}{2}}$ .

#### 3.2 对数

练习 ${3.2}\left( 1\right)$

1. A.

2. ( 1 )因为 ${5}^{2} = {25}$ ,所以 ${\log }_{5}{25} = 2$ .

( 2 )因为 ${\left( \frac{1}{3}\right) }^{-3} = {27}$ ,所以 ${\log }_{\frac{1}{3}}{27} =  - 3$ .

(3)因为 ${4}^{\frac{1}{4}} = \sqrt{2}$ ,所以 ${\log }_{4}\sqrt{2} = \frac{1}{4}$ .

(4) ${2}^{{\log }_{2}3} = 3$ .

3. (1) 由 ${\log }_{4}x = 2$ ,得 $x = {4}^{2} = {16}$ .

(2)由 ${\log }_{x}4 = 2$ ,得 ${x}^{2} = 4$ . 又因为 $x > 0, x \neq  1$ ,所以 $x = 2$ .

练习 ${3.2}\left( 2\right)$

1. (1) ${\log }_{a}{xy} = {\log }_{a}x + {\log }_{a}y = A + B$ .

(2) ${\log }_{a}\frac{{x}^{2}}{\sqrt{y}} = 2{\log }_{a}x - \frac{1}{2}{\log }_{a}y = {2A} - \frac{1}{2}B$ .

2. (1) ${\log }_{15}3 + {\log }_{15}5 = {\log }_{15}{15} = 1$ .

(2) ${\log }_{2}\sqrt[3]{4} = {\log }_{2}{2}^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}{\log }_{2}2 = \frac{2}{3}$ .

(3) ${\log }_{5}\sqrt{10} - \frac{1}{2}{\log }_{5}{250} = {\log }_{5}\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{250}} = {\log }_{5}\frac{1}{\sqrt{25}} = {\log }_{5}{5}^{-1} =  - {\log }_{5}5 =  - 1$ .

3. 因为 ${7}^{b} = 2$ ,所以 ${\log }_{7}2 = b$ . 因此

$$
{\log }_{7}{72} = {\log }_{7}\left( {{2}^{3} \times  {3}^{2}}\right)  = 3{\log }_{7}2 + 2{\log }_{7}3 = {3b} + {2a}.
$$

练习 ${3.2}\left( 3\right)$

1. (1) ${\log }_{8}\frac{1}{4} = {\log }_{{2}^{3}}{2}^{-2} =  - \frac{2}{3}{\log }_{2}2 =  - \frac{2}{3}$ .

(2) ${\log }_{a}b \cdot  {\log }_{b}c \cdot  {\log }_{c}a = \frac{\lg b}{\lg a} \cdot  \frac{\lg c}{\lg b} \cdot  \frac{\lg a}{\lg c} = 1$ .

(3) ${3}^{2 + {\log }_{9}4} = {3}^{2} \times  {3}^{{\log }_{3}2} = 9 \times  2 = {18}$ .

(4) $\frac{{\log }_{5}2 \times  {\log }_{7}9}{{\log }_{5}\frac{1}{3} \times  {\log }_{7}2} = {\log }_{\frac{1}{3}}2 \times  {\log }_{2}9 = \left( {-{\log }_{3}2}\right)  \times  \left( {2{\log }_{2}3}\right)  =  - 2$ .

2. ${\log }_{2}{96} = \frac{{\log }_{3}{96}}{{\log }_{3}2} = \frac{{\log }_{3}\left( {{2}^{5} \times  3}\right) }{{\log }_{3}2} = \frac{5{\log }_{3}2 + {\log }_{3}3}{{\log }_{3}2} = \frac{{5a} + 1}{a} = 5 + \frac{1}{a}$ .

3. 证明: 应用换底公式,将底数 $b$ 换成底数 $a$ ,并利用 ${\log }_{a}a = 1$ ,得

$$
{\log }_{b}a = \frac{{\log }_{a}a}{{\log }_{a}b} = \frac{1}{{\log }_{a}b}.
$$

习题 3.2

### A 组

1.(1)将指数式 ${3}^{4} = {81}$ 写成对数式为 ${\log }_{3}{81} = 4$ .

(2)将指数式 ${5}^{-\frac{1}{2}} = x$ 写成对数式为 ${\log }_{5}x =  - \frac{1}{2}$ .

2. (1)将对数式 ${\log }_{\frac{1}{3}}{27} =  - 3$ 写成指数式为 ${\left( \frac{1}{3}\right) }^{-3} = {27}$ .

(2)将对数式 ${\log }_{2}\frac{1}{8} =  - 3$ 写成指数式为 ${2}^{-3} = \frac{1}{8}$ .

3.(1)因为 ${3}^{3} = {27}$ ,所以 ${\log }_{3}{27} = 3$ .

(2)因为 ${\left( \frac{1}{2}\right) }^{-3} = 8$ ,所以 ${\log }_{\frac{1}{2}}8 =  - 3$ .

(3) $\ln \frac{1}{\mathrm{e}} + \lg \sqrt{10} =  - 1 + \frac{1}{2} =  - \frac{1}{2}$ .

4. ( 1 )由 ${\log }_{2}x = 5$ ,得 $x = {2}^{5} = {32}$ .

( 2 )由 ${\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{125} = x$ ,得 ${\left( \sqrt{5}\right) }^{x} = \frac{1}{125}$ . 又因为 ${\left( \sqrt{5}\right) }^{-6} = \frac{1}{125}$ ,所以 $x =  - 6$ .

(3)由 ${\log }_{x}4 = \frac{1}{2}$ ,得 ${x}^{\frac{1}{2}} = 4$ . 因此 $x = {4}^{2} = {16}$ .

5. (1) ${\log }_{2}\left( {2 \times  \sqrt[3]{2}}\right)  = {\log }_{2}\left( {2}^{1 + \frac{1}{3}}\right)  = \frac{4}{3}{\log }_{2}2 = \frac{4}{3}$ .

(2) ${\log }_{21}3 + {\log }_{21}7 = {\log }_{21}{21} = 1$ .

(3) ${\log }_{5}\sqrt{6} - \frac{1}{2}{\log }_{5}{150} = {\log }_{5}\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}} = {\log }_{5}\frac{1}{\sqrt{25}} = {\log }_{5}\frac{1}{5} =  - 1$ .

(4) ${3}^{{\log }_{3}1} + {\log }_{2}{48} - {\log }_{2}3 = 1 + {\log }_{2}{16} = 1 + 4 = 5$ .

(5) $3{\log }_{3}\frac{3}{2} - {\log }_{3}\frac{7}{4} + \frac{1}{2}{\log }_{3}4 + {\log }_{3}7 = {\log }_{3}\left\lbrack  {{\left( \frac{3}{2}\right) }^{3} \times  \frac{4}{7} \times  {4}^{\frac{1}{2}} \times  7}\right\rbrack   = {\log }_{3}{27} = 3$ .

6. (1) ${\log }_{a}\left( {x{y}^{2}}\right)  = {\log }_{a}x + 2{\log }_{a}y = A + {2B}$ .

(2) ${\log }_{a}\frac{xy}{\sqrt{z}} = {\log }_{a}x + {\log }_{a}y - \frac{1}{2}{\log }_{a}z = A + B - \frac{1}{2}C$ .

(3) ${\log }_{a}\left( {{x}^{2}{y}^{2}}\right)  + {\log }_{a}\left( {y\sqrt{x}}\right)  = 2{\log }_{a}x + 2{\log }_{a}y + {\log }_{a}y + \frac{1}{2}{\log }_{a}x \; = \frac{5}{2}{\log }_{a}x + 3{\log }_{a}y = \frac{5}{2}A + {3B}.$

7. (1) ${\log }_{4}2\sqrt{2} = {\log }_{{2}^{2}}{2}^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{2}{\log }_{2}2 = \frac{3}{4}$ .

(2) ${\log }_{2}3 \times  {\log }_{9}2 = \frac{\lg 3}{\lg 2} \times  \frac{\lg 2}{\lg 9} = \frac{\lg 3}{2\lg 3} = \frac{1}{2}$ .

(3) $\frac{3}{{\log }_{2}6} + \frac{3}{{\log }_{3}6} = 3\left( {{\log }_{6}2 + {\log }_{6}3}\right)  = 3{\log }_{6}6 = 3$ .

(4) $\left( {{\log }_{4}3 + {\log }_{8}3}\right) \left( {{\log }_{3}2 + {\log }_{9}2}\right)  + {\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt[4]{32} \; = \left( {\frac{1}{2}{\log }_{2}3 + \frac{1}{3}{\log }_{2}3}\right) \left( {{\log }_{3}2 + \frac{1}{2}{\log }_{3}2}\right)  - \frac{5}{4} \; = \frac{5}{6}{\log }_{2}3 \times  \frac{3}{2}{\log }_{3}2 - \frac{5}{4} = \frac{5}{4} - \frac{5}{4} = 0.$

8. $\lg 2 = 1 - \lg 5 = 1 - a;\lg {20} = \lg \left( {2 \times  {10}}\right)  = \lg 2 + 1 = 1 - a + 1 = 2 - a$ .

B 组

1. (1)因为 $1 - {3x} > 0$ ,所以 $x < \frac{1}{3}$ .

2. (1) ${\log }_{4}8 - {\log }_{\frac{1}{9}}3 - {\log }_{\sqrt{2}}4 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 4 =  - 2$ . (2) ${2}^{{\log }_{6}5} \times  {3}^{{\log }_{6}5} = {6}^{{\log }_{6}5} = 5$ .

(3)原式 $= {\left( \lg {50}\right) }^{2} + 2\lg 2 \times  \lg {50} + {\left( \lg 2\right) }^{2} = {\left( \lg 2 + \lg {50}\right) }^{2} = {\left( \lg {100}\right) }^{2} = 4$ .

3. 设 6.9 级地震和 7.8 级地震的相对能量程度分别为 ${I}_{1}$ 和 ${I}_{2}$ ,由题意,得

$$
\left\{  \begin{array}{l} \frac{2}{3}\lg {I}_{1} + 2 = {6.9}, \\  \frac{2}{3}\lg {I}_{2} + 2 = {7.8}. \end{array}\right.
$$

两式相减,得 ${0.9} = \frac{2}{3}\left( {\lg {I}_{2} - \lg {I}_{1}}\right)  = \frac{2}{3}\lg \frac{{I}_{2}}{{I}_{1}}$ ,即 $\lg \frac{{I}_{2}}{{I}_{1}} = {1.35}$ ,所以 $\frac{{I}_{2}}{{I}_{1}} = {10}^{1.35} \; \approx  {22}$ .

因此 7.8 级地震和 6.9 级地震的相对能量比值为 22 .

4. ${\log }_{2}3 = \frac{\lg 3}{\lg 2} = \frac{b}{a}$ ;

${\log }_{12}{25} = \frac{\lg {25}}{\lg {12}} = \frac{2\lg 5}{2\lg 2 + \lg 3} = \frac{2\left( {1 - \lg 2}\right) }{2\lg 2 + \lg 3} = \frac{2 - {2a}}{{2a} + b}$ .

5. 因为 ${5.4}^{x} = 3,{0.6}^{y} = 3$ ,所以 $x = {\log }_{5.4}3, y = {\log }_{0.6}3$ .

因此 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{{\log }_{5.4}3} - \frac{1}{{\log }_{0.6}3} = {\log }_{3}{5.4} - {\log }_{3}{0.6} = {\log }_{3}9 = 2$ .

6. 因为 $a\text{、}c$ 均不为 1,所以 $\lg a \neq  0$ ,且 $\lg c \neq  0$ .

利用换底公式,得 ${\log }_{a}b \cdot  {\log }_{c}d = \frac{\lg b}{\lg a} \cdot  \frac{\lg d}{\lg c} = \frac{\lg d}{\lg a} \cdot  \frac{\lg b}{\lg c} = {\log }_{a}d \cdot  {\log }_{c}b$ .

### 复习题

A 组

1.(1) $\sqrt[3]{5}$ ； ${\log }_{3}5$ . (2) ${a}^{\frac{1}{3}}$ . (3) $\frac{1}{4}$ . (4) 125.

2. (1) B. (2) D.

3. ${10}^{\alpha  + \beta } = {10}^{\alpha } \cdot  {10}^{\beta } = 3 \times  4 = {12}$ .

${10}^{\alpha  - \frac{\beta }{2}} = {10}^{\alpha } \cdot  {10}^{-\frac{\beta }{2}} = {10}^{\alpha } \cdot  {\left( {10}^{\beta }\right) }^{-\frac{1}{2}} = 3 \times  {\left( 4\right) }^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}.$

4. (1) $\frac{1}{{4}^{x} + 1} + \frac{1}{{4}^{-x} + 1} = \frac{1}{{4}^{x} + 1} + \frac{{4}^{x}}{1 + {4}^{x}} = \frac{1 + {4}^{x}}{1 + {4}^{x}} = 1$ .

(2) ${4}^{\sqrt{2} + 1} \times  {2}^{3 - 2\sqrt{2}} \times  {8}^{-\frac{2}{3}} = {2}^{2\sqrt{2} + 2} \times  {2}^{3 - 2\sqrt{2}} \times  {2}^{-2} = {2}^{2\sqrt{2} + 2 + 3 - 2\sqrt{2} - 2} = {2}^{3} = 8$ .

5. $\sqrt{{\left( \lg a\right) }^{2} - \lg \frac{{a}^{2}}{10}} = \sqrt{{\left( \lg a\right) }^{2} - \left( {2\lg a - \lg {10}}\right) } = \sqrt{{\left( \lg a\right) }^{2} - 2\lg a + 1} = \; \sqrt{{\left( \lg a - 1\right) }^{2}} = \left| {\lg a - 1}\right| .$

因为 $\lg a < 1$ ,所以 $\left| {\lg a - 1}\right|  = 1 - \lg a$ .

6. 因为 $m = {\log }_{2}{10}$ ,所以 ${2}^{m} - m\lg 2 - 4 = {2}^{{\log }_{2}{10}} - {\log }_{2}{10} \times  \lg 2 - 4 = {10} - 1 - 4 = 5$ .

B 组

1. (1) -3. (2) 64. (3) 1.

2. B.

3. 因为 ${\log }_{0.2}a > 0,{\log }_{0.2}b > 0$ ,所以

$$
{\log }_{0.2}\left( {ab}\right)  = {\log }_{0.2}a + {\log }_{0.2}b \geq  2\sqrt{{\log }_{0.2}a \cdot  {\log }_{0.2}b} = 2,
$$

当且仅当 ${\log }_{0.2}a = {\log }_{0.2}b$ ,即 $a = b$ 时等号成立.

因此 ${\log }_{0.2}\left( {ab}\right)$ 的最小值为 2 .

4. 因为 $x \neq  0$ ,所以 ${2}^{x} \neq  1$ . 分子、分母同乘 $1 - {2}^{x}$ ,得

$$
\begin{aligned}  & \frac{\left( {1 + {2}^{x}}\right) \left( {1 + {2}^{2x}}\right) \left( {1 + {2}^{4x}}\right) \left( {1 + {2}^{8x}}\right) \left( {1 + {2}^{16x}}\right) }{\left( 1 - {2}^{32x}\right) } \\  & = \frac{\left( {1 - {2}^{x}}\right) \left( {1 + {2}^{x}}\right) \left( {1 + {2}^{2x}}\right) \left( {1 + {2}^{4x}}\right) \left( {1 + {2}^{8x}}\right) \left( {1 + {2}^{16x}}\right) }{\left( {1 - {2}^{x}}\right) \left( {1 - {2}^{32x}}\right) } \\  & = \frac{1 - {2}^{32x}}{\left( {1 - {2}^{x}}\right) \left( {1 - {2}^{32x}}\right) } = \frac{1}{1 - {2}^{x}}. \end{aligned}
$$

5. 证明: 因为 ${a}^{{2b} + k} - 2{a}^{b + k} + {a}^{k} = {a}^{k}\left( {{a}^{2b} - 2{a}^{b} + 1}\right)  = {a}^{k}{\left( {a}^{b} - 1\right) }^{2}$ ,又因为 $a >$ 0,所以对任意的实数 $k$ ,均有 ${a}^{k} > 0$ .

而 $a > 1, b > 0$ ,由幂的基本不等式,可得 ${a}^{b} > 1$ .

因此 ${a}^{k}{\left( {a}^{b} - 1\right) }^{2} > 0$ ,故 ${a}^{{2b} + k} - {a}^{b + k} > {a}^{b + k} - {a}^{k}$ .

### 拓展与思考

1. 将原方程整理成 ${\left( {\log }_{2}x\right) }^{2} + b{\log }_{2}x + c = 0$ .

由题意,得 ${\log }_{2}\frac{1}{4} \times  {\log }_{2}\frac{1}{8} = c$ ,且 ${\log }_{2}\frac{1}{2} + {\log }_{2}{64} =  - b$ ,解得 $c = 6, b =  - 5$ .

代入方程,得 ${\left( {\log }_{2}x\right) }^{2} - 5{\log }_{2}x + 6 = 0$ ,故 ${\log }_{2}x = 2$ 或 ${\log }_{2}x = 3$ ,即 $x = 4$ 或 $x = 8$ .

2. 证明: 因为 $a\text{、}b\text{、}c$ 是不为 1 的正数,所以 ${a}^{\frac{1}{\lg b} + \frac{1}{\lg c}} \cdot  {b}^{\frac{1}{\lg c} + \frac{1}{\lg a}} \cdot  {c}^{\frac{1}{\lg a} + \frac{1}{\lg b}} > 0$ ,

$$
\lg \left( {{a}^{\frac{1}{\lg b} + \frac{1}{\lg c}} \cdot  {b}^{\frac{1}{\lg c} + \frac{1}{\lg a}} \cdot  {c}^{\frac{1}{\lg a} + \frac{1}{\lg b}}}\right)  = \left( {\frac{1}{\lg b} + \frac{1}{\lg c}}\right) \lg a + \left( {\frac{1}{\lg c} + \frac{1}{\lg a}}\right) \lg b + \left( {\frac{1}{\lg a} + \frac{1}{\lg b}}\right) \lg c,
$$

$$
= \frac{\lg b + \lg c}{\lg a} + \frac{\lg a + \lg c}{\lg b} + \frac{\lg a + \lg b}{\lg c}.
$$

又因为 $\lg a + \lg b + \lg c = 0$ ,所以

$$
\frac{\lg b + \lg c}{\lg a} + \frac{\lg a + \lg c}{\lg b} + \frac{\lg a + \lg b}{\lg c} = \frac{-\lg a}{\lg a} + \frac{-\lg b}{\lg b} + \frac{-\lg c}{\lg c} =  - 3.
$$

故 ${a}^{\frac{1}{\lg b} + \frac{1}{\lg c}} \cdot  {b}^{\frac{1}{\lg c} + \frac{1}{\lg a}} \cdot  {c}^{\frac{1}{\lg a} + \frac{1}{\lg b}} = \frac{1}{1000}$ .

#### 四、相关阅读材料

### 参考文献

[1] 李大潜. 漫话 e [M]. 北京:高等教育出版社,2011.